数学史上著名的悖论是著名哥德尔第一不完备定理。这个定理是在1931年被哥德尔证明的。

该定理最初运用于证明纯数学推理的困难。这个定理断言，如果任何与自然数系统相关的公理体系都是矛盾的，那么总能找到一个关于自然数的陈述，它既不是公理系统的定理，也不是这个定理的否定。

哥德尔第一不完备定理为证明是否一种数学公理系统内部的完备性，提供了完美的实验方法。没有公理化的几何学取得了成就，但实际上表明了只要我们在学科中找到系统漏洞，这些疑问是有可能有实际意义的。

哥德尔第一不完备定理改变了人们对数学和数学定理的看法。因为哥德尔所作的工作说明了一个更微妙的问题：公理体系的表达能力有限。这导致一个颠覆数学本身的后果：无法预测具有延续时间的数学活动是否在概念框架内进行。即便是我们日常接触的算术也有可能是不完备的。

在哥德尔第一不完备定理的基础上，以及哥德尔的其他定理，建立了计算机科学的基础，并且已经成为考虑计算机上运行程序的一个基本前提。哥德尔定理的存在就是一种鼓励，一种提醒，意味着不应该完全依赖纯粹的公理体系，而是拥有不同的视角，这有助于我们理解数学的本质。